前言

本文是对OpenGL Projection Matrix一文的中文翻译，初衷是因为自己学习OpenGL时，对投影变形的数学推导比较感兴趣，因此找到了该文章。而本文并不是对该一对一的翻译，其中会增加一些易于理解的内容。

正文

计算机显示器是2D平面的。如果3D场景通过OpenGL来渲染，那么就需要以2D图像的方式投影到计算机屏幕上。其中GL_PROJECTION矩阵就是用作投影变换。首先它将所有的顶点数据从观察（View）坐标变换到裁剪坐标；然后裁剪坐标还需要变换为归一化坐标（NDC，Normalized Device Coordinates），具体的方法就是裁剪坐标除以其w分量（默认是4分量向量，即x，y，z，w）。

因此需要注意的是裁剪（视锥剔除）和NDC变换都已经集成在了GL_PROJECTION矩阵中。而下面的内容主要就是描述如何从 left, right, bottom, top, near 和 far 这个6个值来构建投影矩阵。下图标明了这六个值：

这里要注意一下的是对于视锥剔除（也就是裁剪）是在裁剪坐标执行（即除以w分量）之前进行。在裁剪坐标中x、y、z分量都会尝试和w分量进行比较，如果其小于-w（注意这里是负数）或者大于w（这里是正数）都会认为这些顶点是无效的。即：

然后OpenGl会在发生裁剪的地方重建多边形的边缘。

透视投影（Perspective Projection）

在透视投影中，处于视锥（上图左边，观察坐标）中的3D坐标会映射到立方体（上图右边，NDC坐标）中。x轴上[l,r]范围内的点映射到[-1,1]范围内；y轴上[b,t]范围内的点映射到[-1,1]范围内；z轴上[-n,-f]范围内的点映射到[-1,1]范围内。

注意：观察坐标使用的是右手坐标系，归一化坐标（NDC）使用的左手坐标系。

因此在观察空间中，处于原点的相机是望向-z轴方向，但是在NDC中却是望向+z轴方向。glFrustum()只接受为负数的near和far值（第二幅图中有标明），所以在构建GL_PROJECTION矩阵时需要对它们进行取反。

因此为了求得观察坐标到归一化坐标的变换矩阵，大致需要两步：首先需要将观察坐标 投影到近平面上的点 。其次是将转换为。

观察坐标到近平面的投影

在OpenGl中，观察空间中的3D坐标都会投影到近平面（near plane）中，下面两幅图展示了如何将观察空间中的某一个点 投影到近平面上的点 。

俯视图：

侧视图：

从视锥俯视图来看， 映射到 。通过相似三角形比例：

从侧视图来看，可以使用类似的方法求得：

也就是说，无论和都是依赖于，即它们和相反。换句话说，它们都会除以。这是作为构造GL_PROJECTION矩阵非常重要的线索。在观察坐标在通过乘以GL_PROJECTION矩阵转换后，裁剪坐标依然是一个齐次坐标：

最后通过除以裁剪坐标的w分量变成归一化坐标（NDC）：

因此我们可以设置裁剪坐标的w分量为，GL_PROJECTION矩阵的第4行就变为(0, 0, -1, 0)，并有如下的等式成立：

下一步根据线性关系，我们将 映射到 （即NDC坐标）：

到的映射

将 映射到 ：

然后用(r, 1) 来替换 ()，也就是在直线上取的特殊点：

将β带入等式一得到：

同理我们可以将 映射到 ：

到的映射

最后得到的等式为：

然后我们将前面得到（即等式一）带入到等式三中，我们的目的是要推导出和的关系：

将前面得到（即等式二）带入到等式四中，同样也是要推导出和的关系：

上面我们为了进行透视划分，将等式的每一项都除以，在前面我们有。因此对于等式五和等式六我们可以将括号内的设为，具体如下：

有了上面的关系之后，我们就可以求得变换矩阵GL_PROJECTION的对应项（第一行，第二行）了：

到的映射

现在我们仅仅只有GL_PROJECTION矩阵3行（第1、2、4行）。寻找（归一化坐标中的z值）相对于其他来说是有点不一样的，这是因为在观察坐标中的总是投影在-n的近平面（near plane）上面（回想一下上面的那几张图）。但我们需要唯一的z值用于裁剪和深度测试，我们可以使用逆变换进行反投影。

我们知道z并不依赖于x和y的值，我们可以借用w分量来找到之间的关系。因此我们可以对上面矩阵的第3行指定为如下形式：

我们可以得到下面的等式，等式的前半部分是我们前面提到的基础，对于归一化坐标而言，是用裁剪坐标除以其w分量：

由于，所以进一步替换上面的等式：

在观察空间中w分量为1，也即是，因此等式可以进一步化简为：

为了找到系数，A和B我们使用之间的关系：-n对应-1，即（-n，-1）；-f对应1，即（-f，1）。让这两个特殊的值带入到上面的等式中得到：

得出，然后将该等式带入到中，得到：

透视投影矩阵

将A和B的值带入到矩阵中得到完整的透视投影矩阵：

这个矩阵是通用的视锥投影矩阵。如果说观察的是对称的话，即，上面的矩阵可以化简为：

同样的我们也可以根据等式七求出的值

在我们继续后面的内容之前，我们先仔细看看上面之间的关系。我们注意到它们是非线性关系的合理函数。这意味在近平面（near plane）上有着非常高的精度，但在远平面（far plane）上的精度却很低。如果[-n, -f]变大，那么就会导致深度（depth）的精度问题（z-fighting）。$z_{e}$在远平面附近小的变化不会影响到值（这里可以简单地将代入到上面等式中）。n和f之间的距离应尽可能地短，以最大程度地减小深度缓冲区的精度问题。

正交投影（Orthographic Projection）

构建GL_PROJECTION的正投影矩阵要比透视投影要简单许多，观察坐标的分量都是线性映射到归一化坐标中。因此我们只需要将长方形体积缩放到立方体中将其移动到原点即可。

现在我们可以根据线性关系求得GL_PROJECTION矩阵的各个元素。

到的映射

将映射到：

然后用点(r, +1) 替换 ：

将 β 代入到方程中得到：

到的映射

同理我们也可以求出对应的函数表示：

然后用点(t, +1) 替换 ：

将 β 代入到方程中得到：

到的映射

这里需要注意的是它们都是取的负数。

将(-f, 1)替换：

将 β 代入到方程中得到：

正交投影矩阵

对于正交投影来说，w分量不是必须的。我们将GL_PROJECTION的中第4行设置为(0,0,0,1)。因此GL_PROJECTION完整的正交投影矩阵为：

如果观察空间是对称的，即。我们可以进一步的简化：

将上的等式代入到原矩阵中，化简之后的矩阵为：